یک حجم هرمی چند قاعده دارد

آموزش ریاضی پایه هفتم

حجم های هندسی ریاضی هفتم ?? – خوب بشناسشون!

در درسنامۀ حجم های هندسی ریاضی هفتم ابتدا حجم‌ها را به دو دوستۀ هندسی و غیر هندسی تقسیم می‌کنیم. سپس، از بین حجم‌های هندسی، حجم‌های منشوری را معرفی کرده و روش نام‌گذاری اجزای آن را بررسی می‌کنیم. در انتهای درسنامه نیز، مقطع زدن و دید از بالا به یک منشور را مورد بررسی قرار می‌دهیم. با ما تا انتهای درسنامۀ حجم های هندسی ریاضی هفتم همراه باشید.

حجم های هندسی و غیر هندسی

می‌توان حجم‌ها را به دو دستۀ هندسی و غیر هندسی تقسیم کرد. به حجم‌هایی که در یکی از سه دستۀ زیر قرار داشته و یا از ترکیبی از آن‌ها تشکیل شده باشند، حجم های هندسی می‌گوییم.

به حجم‌هایی که در سه دستۀ بالا قرار نداشته باشند و یا از ترکیبی از آن‌ها تشکیل نشده باشند،حجم های غیر هندسی می‌گوییم. درادامۀ درسنامۀ حجم های هندسی ریاضی هفتم انواع حجم های هندسی را بررسی می‌کنیم.

خرید پکیج دوره محاسبات سریع ?? 

۴۹۰٫۰۰۰ تومان ۱۹۹٫۰۰۰ تومانافزودن به سبد خرید

 حجم های منشوری

مثال ۱: حجم‌های زیر، حجم های منشوری هستند:

اگر دقت کنید می‌بینید که حجم‌های منشوری بین دو سطح موازی قرار گرفته‌اند. در مکعب، این دو سطح موازی، دو مربع هستند. در استوانه، دو سطح موازی، دو دایره هستند. با تغییر این دو سطح موازی می‌توان حجم های منشوری مختلف به دست آورد. در ادامۀ درسنامۀ حجم های هندسی ریاضی هفتم اجزای حجم های منشوری را نام‌گذاری می‌کنیم.

نام‌گذاری اجزای حجم های منشوری

همان طور که گفتیم، حجم های منشوری بین دو سطح موازی قرار دارند. به این دو سطح موازی، دو قاعدۀ منشور می‌گوییم. هر سطحی به غیر از این دو قاعده را وجه های جانبی منشور می‌گوییم. محل اتصال (اشتراک) وجه های جانبی با یکدیگر و یا با قاعده های منشور را یال های منشور می‌نامیم. محل اتصال (اشتراک) یال ها با قاعده‌ها را نیز، رأس های منشور می‌نامیم. در منشور زیر، رأس‌ها، یال‌ها و قاعده‌های منشور را مشخص کرده‌ایم:

وجه‌های جانبی منشور بالا نیز سه متوازی الاضلاع هستند. برای اینکه بهتر متوجه شوید، در مثال‌های بعدی از درسنامۀ حجم های هندسی ریاضی هفتم اجزای منشور را نام گذاری می‌کنیم.

مثال ازحجم‌های منشوری

مثال ۲: در شکل زیر، قاعده‌ها، وجه‌های جانبی، یال‌ها و رئوس منشور را مشخص کنید.

حل: اصطلاحاً به منشور شکل بالا، منشور سه پهلو می‌گوییم. زیرا دارای سه وجه جانبی است. قاعده های منشور شکل بالا، مثلث‌های (La ge ABC) و (La ge A’B’C’) هستند. وجه های جانبی آن، مستطیل‌های (La ge ABB’A’) و (La ge BCC’B’) و (La ge CAA’C’) هستند. یال های این منشور، پاره‌خط‌های (La ge AA’) و (La ge BB’) و (La ge CC’) و رئوس این منشور، نقاط (La ge A) و (La ge B) و (La ge C) و (La ge A’) و (La ge B’) و (La ge C’) هستند. همان طور که دیدید برای نام‌گذاری اجزای این منشور از یک نظم خاص پیروی کردیم. همان طور که در درسنامۀ راهبردهای حل مسئله ریاضی هفتم گفتیم، به این رویکرد منظم حل مسئله، راهبردالگوسازی می‌گوییم.

مثال از درسنامۀ حجم های هندسی ریاضی هفتم

مثال ۳: قاعده‌ها، وجه‌های جانبی، یال‌ها و رئوس منشور زیر را مشخص کنید.

حل: اصطلاحاً به منشور شکل بالا، منشور پنج پهلو می‌گوییم. زیرا دارای پنج وجه جانبی است. قاعده های منشور شکل بالا، پنج ضلعی‌های (La ge ABCDE) و (La ge A’B’C’D’E’) هستند. وجه های جانبی آن، مستطیل‌های (La ge ABB’A’) و (La ge BCC’B’) و (La ge CDD’C’) و (La ge DEE’D’) و (La ge EAA’E’) هستند. یال های این منشور، پاره‌خط‌های (La ge AA’) و (La ge BB’) و (La ge CC’) و (La ge DD’) و (La ge EE’) و رئوس این منشور، نقاط (La ge A) و (La ge B) و (La ge C) و (La ge D) و (La ge E) و (La ge A’) و (La ge B’) و (La ge C’) و (La ge D’) و (La ge E’) هستند.

در قسمت بعدی از درسنامۀ حجم های هندسی ریاضی هفتم به بررسی حجم های هرمی می‌پردازیم.

حجم های هرمی

مثال ۴: حجم‌های زیر هرمی هستند:

حجم های هرمی بین یک سطح (قاعده) و یک نقطه قرار دارند. قاعدۀ یک هرم می‌تواند هر شکلی باشد. قاعدۀ هرم‌های شکل بالا از راست به چپ، پنج ضلعی منتظم، متوازی الاضلاع و دایره است. به طور خاص، مخروط، هرمی با قاعدۀ دایره است.

حجم های کروی

مثال ۵: حجم‌ زیر، حجم کروی است:

شکل کروی شکلی است که مجموعه نقاط آن در فضای سه بعدی، از یک نقطۀ ثابت به یک اندازه است. حجم چنین شکلی، حجم کروی است. در ادامۀ درسنامۀ حجم های هندسی ریاضی هفتم مثال‌هایی از حجم‌های هندسی ترکیبی خواهیم دید.

حجم های هندسی ترکیبی

همان طور که در معرفی حجم های هندسی گفتیم، برخی از حجم های هندسی نیز از ترکیب تعدادی از سه دسته‌ای که گفتیم، یعنی حجم‌های منشوری، حجم‌های هرمی و حجم‌های کروی، به وجود می‌آیند.

مثال ۶:حجم‌های زیر، ترکیبی هستند:

حجم اول از ترکیب یک استوانه (حجم منشوری) و یک مخروط (حجم هرمی) تشکیل شده است. حجم دوم از ترکیب یک مکعب (حجم منشوری) و یک حجم منشوری با قاعدۀ مثلث به وجود آمده است. حجم سوم نیز از ترکیب یک حجم منشوری با قاعدۀ پنج‌ضلعی‌منتظم و یک حجم مخروطی با قاعدۀ پنج‌ضلعی‌منتظم به وجود آمده است. به قسمت بعدی از درسنامۀ حجم های هندسی ریاضی هفتم توجه کنید.

خرید پکیج دوره محاسبات سریع ?? 

۴۹۰٫۰۰۰ تومان ۱۹۹٫۰۰۰ تومانافزودن به سبد خرید

مقطع زدن

در صورتی که یک شکل در فضای سه بعدی را با یک صفحه قطع کنیم، به اصلاح کتاب درسی می‌گوییم مقطع زده ایم. مثلاً در شکل زیر، یک صفحۀ موازی با قاعدۀ استوانه، استوانه را قطع کرده است:

همان طور که می‌‌بینید، سطح مقطع این برش، یک دایره است. اگر یک صفحۀ مایل استوانه را قطع می‌کرد، سطح مقطع مانند شکل زیر یک بیضی می‌شد:

در تصویر متحرک زیر نیز می‌توانید آنچه در دو شکل بالا نشان دادیم، مشاهده کنید:

البته همین کار را برای شکل‌های دیگری غیر از استوانه نیز می‌توانیم انجام دهیم. مثلاً در شکل زیر، یک مکعب را با یک صفحه قطع کرده‌ایم (برش داده‌ایم):

همان طور که می‌بینید، سطح مقطع، یک مثلث شده است. بین اشکال مختلف، به طور خاص، مقاطع مخروطی اهمیت ویژه‌ای برای ما دارند و در سال‌های آینده به آن‌ها خواهیم پرداخت. در قسمتی بعدی از درسنامۀ حجم های هندسی ریاضی هفتم دید از بالا را بررسی می‌کنیم.

دید از بالا

می‌توان به اشکال مختلف در فضای سه بعدی، از جهات مختلف نگاه کرده و شکل دو بعدیشان را رسم نمود. در واقع به این صورت، تصویر یک شکل سه بعدی را در فضای دو بعدی به دست می‌آوریم. مثلاً به منشور زیر از بالا نگاه کنید:

دید از بالای آن، شکل زیر خواهد شد که همان قاعدۀ منشور است:

همین کار را برای دید در زوایای دیگر و همچنین برای اشکال مختلف نیز می‌توان انجام داد.

زنگ آخر کلاس حجم های هندسی ریاضی هفتم

در درسنامه‌ حجم های هندسی ریاضی هفتم که از ریاضی هفتم خواندیم، ابتدا تعریف حجم های هندسی و غیر هندسی را دیدیم. سپس، حجم های منشوری، هرمی و کروی را بررسی کرده و به طور خاص اجزای حجم های منشوری را نام گذاری کردیم. در قسمت آخر درسنامه نیز، تعریف مقطع زدن و همچنین مفهوم دید از بالا به یک منشور را مورد بررسی قرار دادیم.

ما در ریاضیکا آماده‌ی هر کمکی برای موفقیت شما در ریاضی هستیم. هر سوالی در ارتباط با این مبحث دارید، در دیدگاه‌ها بنویسید. کارشناسان ما به سوال شما پاسخ خواهند ‌داد.

خرید پکیج دوره محاسبات سریع ?? 

۴۹۰٫۰۰۰ تومان ۱۹۹٫۰۰۰ تومانافزودن به سبد خرید

هرگاه کلمه‌ هرم را می‌شنویم، ناخودآگاه به یاد اهرام ثلاثه مصر می‌افتیم. به این دسته از اهرام، اهرام مربعی می‌گویند، زیرا سطح قاعده آن‌ها یک مربع است. هرم در ریاضی مفهومی است که کاربرد بسیاری در مفاهیم مهندسی و فیزیک دارد.

فیلم آموزشی هرم در ریاضی

اجزای هرم

هرم از اتصال قاعده (Base) به رأس آن (Apex) تشکیل‌شده‌است. سطح قاعده یک مربع و وجوه دیگر آن از مثلث تشکیل‌شده‌ است. همین‌طور مد نظر داشته باشید که در یک هرم هیچ‌گونه منحنی وجود ندارد.

انواع هرم

هرم‌ها بر‌اساس نوع سطح قاعده‌شان به دسته‌های مختلفی تقسیم می‌شوند.

و به همین صورت ادامه پیدا می‌کند . . .

هرم عمود و هرم مایل

بر مبنای اینکه مکان قرار‌گیری رأس هرم کجا باشد می‌توان آن‌ها را به دو دسته تقسیم نمود. هرگاه رأس هرم دقیقا بالای مرکز قاعده قرار گیرد هرم موردنظر از نوع قائم خواهد بود و در‌ غیر این صورت هرم را مایل می‌نامیم.

هرم منتظم و نامنتظم

هرگاه قاعده هرم یک چندضلعی منتظم باشد، هرم را منتظم می‌نامیم و در‌ غیر‌ این‌ صورت نامنتظم نامیده‌می‌شود.

حجم و مساحت هرم

حجم هرم را می‌توان از رابطه زیر محاسبه نمود:

هرگاه هرم منتظم باشد، همه‌ی وجوه جانبی آن، مثلث‌هایی با ابعاد یکسان خواهند‌بود. درنتیجه برای محاسبه مساحت هرم کافی است از رابطه زیر استفاده کنیم:

هرگاه هرم نامنتظم باشد، وجوه جانبی نیز با یکدیگر متفاوت خواهند‌بود. در این صورت مساحت آن را از رابطه زیر محاسبه می‌گردد:

اگر تمایل به مطالعه بیشتر در این موضوع داشته باشید، شاید آموزش های زیر نیز برای شما مفید باشند:

منبع